伽罗瓦域

伽罗瓦域（有限域）是一种在有限元素集合上四则运算均良好定义的代数结构。以 19 世纪法国数学家伽罗瓦命名，当元素数为素数幂 p^n 时存在，记为 GF(p^n)。

二维码的里德-所罗门纠错在 GF(2^8) = GF(256) 上运算，包含 0 到 255 共 256 个元素，恰好对应一个字节的取值范围。由于二维码数据按字节处理，GF(256) 是天然的匹配。

在 GF(256) 中，加法定义为异或运算，结果始终在 0-255 范围内。乘法使用以本原多项式为模的多项式运算，不会溢出。这种「封闭运算」特性从数学上保证了对固定长度数据块的纠错能力。实现中通常使用预计算的对数表和反对数表来加速乘法运算。