伽罗瓦域

伽罗瓦域（有限域，Galois Field）是元素个数有限、而四则运算（加减乘除）仍能无矛盾成立的代数结构，得名于 19 世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦。它在元素个数为素数的幂 p^n 时存在，记作 GF(p^n)。

二维码纠错所用的里德-所罗门码运行在 GF(2^8) = GF(256) 上。GF(256) 有从 0 到 255 共 256 个元素，正好与 1 个字节所能表示的取值范围一致。二维码的数据本身就是按字节为单位处理的，因此与 GF(256) 的契合度堪称完美，无需任何额外的换算。

在普通的整数运算里，比如 200 + 100 = 300，结果会超出 1 个字节的范围。而 GF(256) 的加法被定义为 XOR（异或），结果始终落在 0 到 255 之间。乘法则定义为以本原多项式为模的多项式运算，同样不会溢出。正是这种「运算封闭」的性质，为固定长度的数据块提供了纠错的数学保证：无论怎么运算，都不会有数据跑出可表示的范围之外。

实现层面，每次都用多项式运算去算 GF(256) 的乘法太慢，于是一般会预先算好对数表与反对数表（各 256 项），把乘法转换成「对数相加、再查反对数」。二维码的编码器与解码器内部都内置着这两张 256 字节的表，这也是为什么纠错运算能在极为廉价的读取硬件上实时完成。